On a dit de lui qu'il etait un cadeau de Noel...
alors pourquoi ne pas l'offrir aux visiteurs de ce site pour leur souhaiter
Joyeuses Pâques, sur le
...mode mathématique...(
cliquez ici pour ceux que les mathematiques n'interessent absolument pas !)
Ce choix si peu orthodoxe, sans gout de chocolat, n'en est pas moins riche. Cette page retrace les
grandes lignes d'un homme tres doue par la Nature, ou par Dieu, pour une science particuliere.
Il y a un peu plus d'une semaine, le 26 mars 2009,
Mikhaïl Leonidovich Gromov, mathématicien franco-russe, recevait le prix Abel .
Personne ne conteste qu'il est un des grands mathématiciens de notre époque.
Misha Gromov, c'est une alliance entre 'le dur et le mou'. Il a une facon de mollifier les concepts classiques, de
les rendre malleables et imprecis pour creer de nouveaux concepts d'une vigueur extraordinaire.
On voit cette demarche a l'oeuvre dans les premiers travaux qui le rendent fameux, vers le milieu des annees 70
sur le h-principe. L'auteur de ces lignes se souvient d'un fameux seminaire a l'Universite Paris 6 ou Gromov demontait
le theoreme de Nash sous les premisses de ce principe, et sous les yeux meduses de l'assistance...
Apres une jeunesse dans les Komsomol et des debuts a l'Universite de Leningrad, ou il fera sa these sous
la dfirection du grand Rohklin, Gromov finit par 'passer a l'Ouest' . Il a 31 ans en 1974 (voir l'article de La Recherche)
et sa carrière de mathématicien hors pair est enfin sur les rails
Une réputation originale le suit : funambule, acrobate, routier?
Marcel Berger, affirme qu'il l'a : « ... même vu faire un saut depuis le quai d’une gare pour entrer
dans un train directement par la fenêtre. »
Prophète lui conviendrait peut-être mieux : seuls ses disciples
comprennent la portée de son travail de précurseur salué par un grand nombre de prix.
Pour simplifier, on se contentera de dire que Gromov est avant tout un géomètre qui s’est
attelé à repenser de manière géométrique et globale un grand nombre de problèmes
dans diverses disciplines : algèbre, probabilités, physique théorique, etc.
Il a montré comment la considération d’espaces très irréguliers pouvait apporter des r
éponses à des problèmes classiques en utilisant des structures nouvelles.
Misha Gromov est professeur permanent à l'Institut des Hautes Etudes Scientifiques (Bures-sur-Yvette, France)
, qu'on a qualifié de Princeton français.
Il travaille dès ses débuts aux confluents de toutes les géométries connues dans les années 70: geometrie differentielle,
riemannienne, sympkectique, et utilise la colle de la topologie. Plus tard il developera une vision geometrique de la theorie des
probabilites.
La communauté mathématique est éblouie par
son talent et lui decerne les prix les plus prestigieux. Il se voit decerner (en mathematique, on
ne remporte pas un prix, on se le voit decerner) le
prix de la societe mathematique de Moscou (1971),
le prix Oscar Veblen (AMS, 1981),
le prix Elie Cartan (1984),
la medaille Lobatchewski (1997),
Leroy P. Steele (1997),
le prix Balzan 1999, le prix Kyoto 2002 en sciences fondamentales, et, dernier, mais pas des moindres, le prix Abel (2009).
On risque donc bien de se trouver a court d'honneur si ce 'génie qui nous vient du froid' ne s'arrete pas a nouveau de fumer...
Vous aurez remarque une grande absente, la medaille Fields. Gromov aurait pu la remporter (pardon, se la voir attribuer) l'annee ou on la decerna
à Thurston, pour ses extraordinaires travaux generalisant la theorie de l'uniformisation de Riemann et la quasi-classification de toutes les varietes de dimension 3.
Quoiqu'il en soit, Gromov n'est jamais tres loin de bien des problemes qui sont consideres comme les plus fondamentaux en mathematiques.
Il n'est pas loin de la methode de Perelman-Hamilton utilisee pour resoudre la conjecture de Poincare. Pas loin de Levy, de Bieberbach, de Loewner ...
Idée 1
Le h-principe
C'est F. Nash qui resoud dans les annees 50 un des problemes cles de geometrie riemannienne, celui de
la 'parametrisation' des espaces abstraits. Il demontre que l'on peut dessiner n'importe quel espace muni
d'une metrique de riemann dans un espace euclidien, a condition d'avoir 'assez de place' (de dessiner
dans un espace de dimension assez grande).
Nash demontre mais ne montre pas. Sa construction n'est pas visualisable, et son theoreme du
plongement isometrique est tres convolue. De plus il observe que le type de plongement dependant
crucialement du 'modele' utilise. Si on autorise des plis on a besoin de moins d'espace.
Gromov developpe dans les annees 70-80 un instrument , l'integration convexe, et formule le h-principe
qui lui permettent de simplifier les preuves de Nash et d'en etendre considerablement la portee.
Gromov regarde certaines des equations aux derivees partielles non lineaires (ou meme des relations differentielles,
une autre generalisation bien typique du style gromovien) comme des surfaces dans un espace fibre et considere les
sections holonomes de ce fibre. C'est ce cadre geometrique qui est a la base de la fomulation du h-principe.
Quand on lit Gromov, et surtout quand on n'est pas un mathematicien averti, on peine d'abord a comprendre les lignes
de raisonnement, parfois touffues. Au bout du compte, cette complexite initiale fait place a des simplifications. Et voila
qu'aujourd'hui, on revisite ces notions pour faire ce qui aurait ete impossible au temps de Nash: dessiner ces plongements
a l'aide de l'integration convexe. Les lecteurs interesses pourront se reporter au site de
Vincent Borrelli
et au document expliquant le projet HEVEA
Les chercheurs Stephan Muller (Max Planck Institute) et V. Sverak (U. Minnessota) ont
applique la methode d'integration convexe de Gromov a la theorie
des changements de phase (martensite) des microstructures
crystallines.
Idée 2
La conjecture de Novikov
Sergei Novikov est un des tenors de l'ecole russe de mathematiques.
Il est titulaire du prix Lenine (1967), de la medaille Fields (1970, a peu pres au meme moment que Thom)
de la medaille Lobatchevsky (1981) et du prix Wolf (2005)
Le
document ecrit par un des artistes les plus elegants de la topologie, John Milnor,
Georges Skandalis redige en 1990-1991 l'expose numero 739 du seminaire Bourbaki sur
l'approche de la conjecture de Novikov par la cohomologie cyclique. Il y met a profit les travaux de Gromov et Blaine Lawson (SUNY)
sur le laplacien spinoriel et le A-chapeau genre. Deux theoremes sont demontres dans cet expose :
Th-A: La conjecture de Novikov est vraie pour les groupes hyperboliques de Gromov
Th-B: Tout fibre presque plat determine un invariant d'homotopie
B permet de redemontrer tous les cas ou les preuves de la conjecture de Novikov existe (en 1990)
La lecture de la bibliographie de cet expose montre le role ecrasant de l'ecole russe...
Novikov
Oberwolfach 1993
work with Moscovici Connes
numdam
Revolution en geometrie riemannienne
Trois papiers fameux : +,-,0
Gromov publie en quelques annees 3 papiers (
Almost flat manifolds, manifolds of negative curvature
Positive scalar curvature and the Dirac operator on complete riemannian manifolds
Cette spectaculaire trilogie inspecte l'ensemble de la geometrie de Riemann, un embrassement omnidirectionel; un feu d'artifices.
Le
comportement chaotique
(connu, notamment grace aux travaux de Vladimir Arnold, d'Anosov et de Stephen Smale)
des negatives, la vieille conjecture de Bieberbach -en rapport avec les groupes cristallographiques- pour les presque plates, et la rondeur des espaces qui
acceptent assez de symetrie (grace a la metrique de Killing), tout ce monde va etre revisite, a la Gromov...
En 1976 ,
Gromov demontre que toute variete riemannienne compacte a diametre normalise, dont la courbure sectionnelle
est assez voisine de zero peut etre obtenue comme le quotient d'un groupe de Lie nilpotent.
C'est une sorte de theoreme de rigidite a la Bieberbach ou a la Mostow.
Ce papier suscite une impression formidable, non seulement a cause de son resultat, mais a cause des techniques
abracadabrantes utilisees par Gromov pour la demonstration. Les mathematiciens Peter Buser et Hermann Karcher en feronf une exegese qui
permettra a la communaute en un sens plus large de comprendre et d'apprecier le travail de Gromov.
En fait, ils montreront comment le theoreme de
Bieberbach est une consequence de la construction de Gromov et publieront un
long
rapport du seminaire Bourbaki de 1978-1979
dans la collection Asterisque.
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Les travaux de Gromov attaquent les methodes de
pincement sous un angle puissant, et
fait exploser ce champ ou les principaux contributeurs
sont le francais Marcel Berger et l'americain Jeff Cheeger. Ce bouleversement est explique dans la centaine de pages que
Marcel Berger consacre au passage de la courbure a la topologie (page 543 a 634) dans son livre
Une vue panoramique de la geometrie riemannienne
En fait ce lien entre la topologie et la courbure est un cheval de bataille a la mode dans les annees 1970!
Evidemment, ces travaux sur le pincements continuent toujours, dans la lignee imposee par Gromov
avec ses systoles, autre invention diabolique, et ses liens avec la topologie et la theorie des inegalites isoperimetriques.
Par exemple
Guzhvina Valina etudie en 2007 l'action du flot de Ricci sur les varietes preque plates.
Idée 3
La géométrie systolique
En medecine , une systole est une contraction du coeur, une phase du cycle cardiaque.
Marcel Berger explique dans
what is a systole
La geometrie systolique, inventee par Loewner et Gromov, s'interesse par exemple
aux liens entre la longueur des 'droites geodesiques'
tracees sur une surface et son diametre. On trouvera un exemple dans les
pages de Florent Balacheff
La geometrie systolique permet d'aborder par des methodes geometriques des problemes qui se pose
sur des objets pour lesquel on ne disposait pas , avant Gromov et Cheeger, d'une telle vision. En fait ceci n'est pas
tout a fait exact, car on disposait quand meme de l'arme de l'algebre lineaire et donc de la theorie spectrale.
On avait donc moyen d'aborder des inegalites isoperimetriques sur des objets 'non-geometriques/abstraits' comme des graphes
par les moyens de 'l'analyse'. Analyse entre guillemets parce que les integrales sont des sommes discretes, les operateurs de diffusion des
de simples operations sur les valeurs des fonctions scalaires definies sur les noeuds du graphe.
Sur un graphe pondere, objet cheri des 'computer scientists/informaticiens/algorithmiciens',
il est trivial de definir un volume, et la sytole du graphe va etre simplement un plus court circuit ferme (separateur).
Le volume systolique normalise le volume a la systole et s'affranchit du systeme de ponderation
Le volume entropique est l'exposant de croissance du volume d'une boule en fonction du rayon.
La geometrie systolique calcule des relations et des inegalites
entre les invariants topologiques d'un
espace, sa systole et son volume entropique.
geometrisation des graphes , metriques hyperboliques et graphes aleatoires these de Yann Ollivier
De nombreux chercheurs font de la theorie geometrique des groupes leur centre d'interet.
Les fondements de la theorie des groupes hyperboliques
(seminaire Bourbaki par E. Ghys en 1990)
Groupes aleatoires (Pansu)
Espaces et questions (Gromov)
Filiation
Descendants directs
On trouvera sur le site
Mathematical Genealogy la liste des mathematiciens qui ont soutenu leur these de doctorat
sous la direction de Gromov.
Liens , bibliographie et documents en ligne
